TeXでシェルピンスキー・ギャスケットを作る

1999年 東大理系数学 第5問より

次の問題は，1999年東大理系数学の第5問です。

1. (1)k を自然数とする。m を m=2^k とおくとき，0 < n < m を満たすすべての整数 n について，二項係数 _mC_n は偶数であることを示せ。


2. (2)以下の条件を満たす自然数 m をすべて求めよ。
   条件：0 ≦ n ≦ m を満たすすべての整数 n について二項係数 _mC_n は奇数である。

シェルピンスキー・ギャスケット

この問題の背景には，フラクタル図形として有名なシェルピンスキー・ギャスケットというものがあります。

パスカルの三角形において，偶奇で色分けすると，シェルピンスキー・ギャスケット（の有限版）が現れます。本問はこの現象を題材とした問題となっています。

そこで，TeXでパスカルの三角形 (mod 2) を描いてみました。二項係数が偶数のところは青，奇数のところは赤で表示されています。

本問の(2)で問われている，全ての二項係数 _mC_n が奇数となるような段が，m=2^k - 1 (k∈N) のときに登場することが見てとれますね。

TeXでの出力結果

32段（ ₀C₀ から ₃₁C₃₁ まで）

64段（ ₀C₀ から ₆₃C₆₃ まで）

128段（ ₀C₀ から ₁₂₇C₁₂₇ まで）

TeXソース

このパスカルの三角形を出力するために用いたTeXソースは以下の通りです。
pdfLaTeX を使って，

$ pdflatex Sierpinski

とコンパイルしてください。

追記：pLaTeX + dvipdfmx というワークフローの場合

上記ソースでは，出来上がるPDFを図のサイズちょうどにクロップするために，preview パッケージを用いています。preview パッケージを使うために pdfLaTeX を用いたのですが，dvipdfmx用のドライバを追加導入すれば pLaTeX + dvipdfmx というワークフローでも preview パッケージを使えるということを知りましたので，その方法も紹介しておきます。

1. prdvipdfmx.def を入手します。
2. それを適切なディレクトリ（最も簡単なのはソースファイルと同ディレクトリ）に配置します。
3. 上記ソースの一部に dvipdfmx オプションを追加します。*1

\documentclass[dvipdfmx]{minimal}
\usepackage[dvipdfmx,active,tightpage]{preview}

こうすることで，通常通り

$ ptex2pdf -l Sierpinski

のように pLaTeX + dvipdfmx のワークフローでコンパイル可能となります。

*1:このとき，tightpage よりも前に dvipdfmx オプションを置くよう注意してください。